Convolution \(\mu*\nu\) de deux Mesures \(\mu,\nu\)
Mesure image de la Mesure produit \(\mu\otimes\nu\) par \((x,y)\mapsto x+y\), i.e. Si \(f\) est mesurable, alors $$\int_{{\Bbb R}^d}f(z)\mu*\nu(dz)=\iint_{{\Bbb R}^d\times{\Bbb R}^d}f(x+y)\mu(dx)\nu(dy)$$

• si \(\mu\) a pour Densité \(f\) et \(\nu\) a pour densité \(g\), alors la densité de \(\mu*\nu\) est la Convolution \(f*g\)
• la Transformée de Fourier de \(\mu*\nu\) est \(\widehat{\mu*\nu}(\xi)=\) \(\hat\mu(\xi)\hat\nu(\xi)\)
• intérêt : si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, la Loi de \(X+Y\) est \({\Bbb P}_X*{\Bbb P}_Y\)
    
• la Fonction caractéristique de \(X+Y\) est alors \(\Phi_X\Phi_Y\)

Questions de cours

Montrer que la densité de la convolution de deux mesures est la convolution des densités.

On fait un changement de variable et on reconnaît la densité recherchée.

Montrer que la transformée de Fourier de la convolution de deux mesures est le produit des transformées de Fourier.

L'intégrale se sépare facilement en deux via Fubini.

Montrer que si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, alors la loi de \(X+Y\) est \({\Bbb P}_X*{\Bbb P}_Y\).

Cela se fait rapidement via un changement de variable.